Приведение формы к каноническому виду

Для квадратичных форм: 1. Приведение к главным осям - получаем ортогональную замену (над $\mathbb{R}$) 2. Метод Лагранжа - замена в общем случае не ортогональная ($\operatorname{char}\mathbb{F} \neq 2$)

Любая квадратичная форма ${} q(x)$ над $\mathbb{F}$ ($\operatorname{char}\mathbb{F} \neq 2$) невырожденной заменой переменных приводится к нормальному виду $\sum\limits_{k=1}^{n} c_k y_k^2$ ($c_k \in \{-1, 0, 1\}$)

Индукция по числу переменных $n$. **База индукции:** ($n=1$) $q(x) = a_{11}x_1^2$. При замене $x_1' = \sqrt{|a_{11}|} x_1$ получаем форму: $$g = \begin{cases} \operatorname{sign}(a_{11}) \cdot {x_1'}^2 & a_{11} \neq 0 \\ 0 & a_{11} = 0 \end{cases} $$ **Шаг индукции:** Пусть метод верен для $n-1$ переменной. Рассмотрим $q(x) = \sum\limits_{i,j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$. **Случай 1:** $\exists a_{ss} \neq 0$ Без ограничения общности скажем, что $a_{11} \neq 0$ (иначе сделаем замену) Отделим от суммы слагаемые с $x_{1}$: $$\begin{align} g &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j = a_{11}x_{1}^{2} + 2 \sum_{j=2}^{n} a_{1j}x_{1}x_{j} + \underbrace{ \sum_{i=2}^{n} \sum_{j=2}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} }_{ q' } \\ &= a_{11}x_{1}^{2} + 2x_{1} \sum_{j=2}^{n} a_{1j}x_{j} + q'(x_{2}, \dots, x_{n}) \end{align}$$ где $q'$ — квадратичная форма от $n-1$ переменной. Далее выделим полный квадрат: $$\begin{align} g &= a_{11}\left( x_{1}^{2} + \dfrac{2x_{1}}{a_{11}} \sum_{j=2}^{n} a_{1j}x_{j} \right) + q' = a_{11}\left( x_{1} + \dfrac{1}{a_{11}} \sum_{j=2}^{n} a_{1j}x_{j} \right)^{2} - \underbrace{ \dfrac{\left( \sum\limits_{j=2}^{n} a_{1j}x_{j} \right)^{2}}{a_{11}} + q' }_{ q'' } \\ &= a_{11}{x_{1}'}^{2} + q'' \end{align}$$ где $x'_{1} = x_{1} + \dfrac{1}{a_{11}} \sum\limits_{j=2}^{n} a_{1j}x_{j}$ и $q''$ - квадратичная форма от $n - 1$ переменной. По предположению индукции у $q''$ существует замена, поэтому замена для $q$ имеет вид: $$ \begin{cases} x_1' = x_1 + \sum\limits_{j=2}^{n} \dfrac{a_{1j}}{a_{11}}x_j \\ x'_{2} = \sum\limits_{i=2}^{n} \alpha_{2i}x_{i} \\ x'_{3} = \sum\limits_{i=2}^{n} \alpha_{3i}x_{i} \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ \end{cases} $$ Матрица замены $T$ ($x' = Tx$) имеет блочно-диагональный вид: $$T = \begin{pmatrix} 1 & \mathbf{*} \\ \mathbf{0} & T_{2} \end{pmatrix}$$ где $\mathbf{0}$ - нулевой столбец, $\mathbf{*} = \left( \dfrac{a_{12}}{a_{11}}, \dfrac{a_{13}}{a_{11}}, \dots, \dfrac{a_{1n}}{a_{11}} \right)$, $T_{2}$ - матрица замены для $q''$ Раскрывая по первому столбцу, получаем: $\det T = \det T_{2} \neq 0$, а значит замена невырожденная. **Случай 2:** $\forall i \ a_{ii} = 0$. Если $q \equiv 0$ - тривиально. Иначе $\exists a_{ij} \neq 0$. Без ограничения общности, $a_{12} \neq 0$ Отделим слагаемые с ${} x_{1}$ и $x_{2}$: $$g = 2\sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{ij}x_{i}x_{j} = 2a_{12}x_{1}x_{2} + 2\sum_{j=3}^{n} a_{1j}x_{1}x_{j} + 2\sum_{j=3}^{n} a_{2j}x_{2}x_{j} + 2\sum_{3 \leq i < j \leq n} a_{ij}x_{i}x_{j}$$ Сделаем следующую нехитрую замену: $$\begin{cases} x_{1}' = \dfrac{x_{1} + x_{2}}{2} \\ x_{2}' = \dfrac{x_{1} - x_{2}}{2} \\ x_{k}' = x_{k} \end{cases} \implies \begin{cases} x_{1} = x_{1}' + x_{2}' \\ x_{2} = x_{1}' - x_{2}' \end{cases}$$ Тогда: $$g = 2a_{12}(x_{1}' + x_{2}')(x_{1}' - x_{2}') + 2\sum_{j=3}^{n} a_{1j}(x_{1}' + x_{2}')x_{j}' + 2\sum_{j=3}^{n} a_{2j}(x_{1}' - x_{2}')x_{j}' + 2\sum_{3 \leq i < j \leq n} a_{ij}x_{i}'x_{j}'$$ ${x_{1}'}^{2}$ входит с коэффициентом $2a_{12} \neq 0$, а значит мы свели 2 случай к 1. Матрица замены $T$ ($x' = Tx$) имеет блочно-диагональны вид: $$T = \begin{pmatrix} \mathbf{*} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & E \end{pmatrix}$$ где $\mathbf{*} = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$, $\mathbf{0}$ - нулевые блоки, $E$ - единичная матрица. Так как матрица блочно-диагональная, $\det T = \det \mathbf{*} \cdot \det E = -2 \neq 0$, а значит замена невырожденная. $\square$